Евдокс Кнідський

(бл.408—бл.355 до н.е.)

У південно-західній частині Малої Азії — місті Кніді народився один з найвизначніших учених Стародавньої Греції, математик, астроном, філософ, географ і медик, прекрасний оратор Евдокс Кнідський. Сучасники називали його Eudocsos — знаменитий. Йому було 23 роки, коли він приїхав у Афіни, щоб слухати лекції в Академії Платона, на вході в яку було викарбувано знаменитий вислів: «Нехай не входить сюди не навчений математиці». Тут він розв'язав поставлену Платоном складну астрономічну задачу — створив модель, у якій видимий рух Сонця, Місяця і планет подавався як комбінація рівномірних кругових рухів концентричних сфер, у центрі яких знаходилася Земля. Модель Евдокса знаменувала початок нової ери в історії астрономії та її математичного апарату. Потім була подорож до Єгипту. Евдокс спілкувався з місцевими жерцями, щоб проникнути в здобуті ними в результаті тривалих спостережень закономірності руху небесних світил, таємниці світобудови, числові відношення. Повернувшись, учений заснував у місті Кізікі на березі Мармурового моря школу математиків і астрономів, при якій обладнав одну з кращих для свого часу астрономічну обсерваторію. Тут уперше в Греції вели систематичні астрономічні спостереження, на основі яких було складено перший у Греції зоряний каталог. У 365 р. до н. е. Евдокс удруге, тепер із своїми учнями, відвідав Афіни, де мав тривалі бесіди з Платоном на різні наукові, насамперед філософські, теми.

Авторитет і слава вченого привертали до нього численних учнів, яким він передавав здобуті знання, розробляв разом з ними нові наукові проблеми, виховуючи нових дослідників. Помер він, здобувши заслужені славу й почесті.
Жодна з праць Евдокса не збереглася до наших днів. Тому історикам науки довелося провести велику дослідницьку роботу, щоб з книг інших авторів, побіжних згадок виявити його внесок у скарбницю математичних знань.

На перший погляд може здатися, що математик відкриває і доводить свої теореми незалежно від подій навколишнього світу, його тривог, сподівань і радостей. Біографії більшості математиків, зокрема й Евдокса, переконують нас у тому, що це не так. Щоб зрозуміти стимули математичних пошуків Евдокса, досить хоча б побіжно ознайомитися з обстановкою в грецькій математиці того часу.

Відкриття несумірності завдало нищівного удару піфагорійській філософії всесилля додатного раціонального числа.

Математики ще жили під гнітом цієї несподіванки, коли філософ Зенон Елейський (бл. 490—бл. 430 до н. є.) сформулював свої 45 апорій (грецьк. алоріа — безвихідь), у яких показав суперечливість понять руху, простору і часу, нескінченності і неперервності, а також труднощі вираження руху в логіці понять.

Відкриття несумірних відрізків і апорії Зенона Елейського зумовили першу кризу методологічних основ математики, оскільки показали, що деякі важливі математичні поняття вимагають глибшого вивчення, уточнення, а теоретичні основи всієї математики — перебудови і зміцнення.

Розв'язанню цих проблем, які нині належать до математичного аналізу, і віддав свій математичний геній Евдокс Кнідський, створивши нові теоретичні основи математики — насамперед загальне вчення про відношення, яке в основному збігається з теорією дійсних чисел. її побудував лише в 1872 р. німецький математик Ріхард Дедекінд (1831 —1916). Він відкрив також строгі методи граничних переходів, за допомогою яких вдалося розв'язати багато задач на обчислення площ і об'ємів криволінійних фігур. Це був знаменитий «метод вичерпування». Евдокс також був автором методу доведення, який у XVII ст. назвали «аподиктичним», або «методом зведення до абсурду».

Грецькі математики розробили два шляхи подолання кризи теоретичних основ своєї науки. Демокріт з Абдер (бл. 460—370 до н. е.) пропонував розглядати точки як неподільні атоми, причому в кожному відрізку їх завжди скінченне, хоча й надзвичайно велике число. Тоді площина утворена з прямих, на зразок того, як тканина зіткана з ниток.

Геометричні тіла Демокріт уявляв утвореними з паралельних пластинок, товщина кожної з яких дорівнювала атому. У демокрітовій атомістичній математиці всі відрізки сумірні, але в ній виникають нові суперечності. Наприклад, якщо відрізок складається з парного числа точок, то перпендикуляр, проведений до його середини, не матиме спільної точки В таким відрізком, він пройде десь між точками, а відрізок з непарним числом точок неможливо буде поділити на дві конгруентні частини.

Другим був шлях так званої геометричної алгебри. Оскільки множина геометричних фігур, наприклад відрізків, виявилася потужнішою від множини чисел, теореми і задачі подавали мовою відношень різних геометричних фігур Було розроблено графічні (звичайно, наближені) методи обчислення додатних коренів рівнянь першого степеня і квадратних. Однак методи геометричної алгебри виявилися безсилими перед рівняннями вищих степенів, результати були наближеними і подавалися завжди у формі якихось геометричних фігур.

Греки першими почали оперувати з дробами виду m/n —, хоча до IV ст. до н. е. ще не було достатньо обгрунтованої теорії введення в науку цих нових математичних об'єктів і теорії операцій з ними. Математика вже вимагала більшого. Потрібна була теорія, яка б вводила операції, застосовані як до раціональних, так і до ірраціональних чисел, бо тільки за допомогою множини дійсних чисел можна обгрунтувати теорію вимірювання різних величин. Дивує вже те, що грецькі вчені розуміли необхідність такої теорії. А Евдокс Кнідський побудував її з такою глибокою і логічною досконалістю, що всю велич його творіння зрозуміли лише математики кінця XIX і навіть початку XX ст. Коли було розроблено теорію дійсного числа, з'ясувалося, що вона тільки термінологією й окремими деталями відрізняється од теорії відношень Евдокса Кнідського.

За допомогою «методу вичерпування» Евдокс строго довів ряд відомих, але не обгрунтованих тоді ще теорем. Його застосовували Евклід і Архімед для обчислення площ, об'ємів і центрів ваги геометричних фігур. Тепер такі задачі розв'язують за допомогою інтегрального числення. Метод Евдокса був скоріше методом доведення відомих фактів, ніж відкриття нових. Разом з тим це було перше вчення про границі. За допомогою цього методу можна було обчислювати границі широкого класу послідовностей.

Теорії Евдокса зміцнили теоретичні основи математики, поклали кінець першій кризі, повернули вченим упевненість у надійності математичних теорій і відкрили шляхи застосування їх до розв'язування складних теоретичних і практичних задач.