Апполоній Пергський

/Files/images/matematiki/image027.jpg

(бл.260— 170 до н.е.)

Аполлоній Пергський — останній з трьох великих математиків епохи еллінізму. Молодим він приїхав до Александрії і вивчав математику в послідовників Евкліда в Мусейоні. Потім жив і працював у другому центрі грецької культури — місті Перга.

Аполлоній — автор багатьох математичних праць, найвизначнішою з яких є «Коніка» («Конусні»). Із восьми книг цього твору збереглися сім. «Коніка» присвячена конічним перерізам, або кривим другого порядку. Їх вивчали і до Аполлонія. Є свідчення, що учень Евдокса Кнідського — Менехм (бл. 360 до н. е.)— відкрив еліпс, гіперболу і параболу («тріада Менехма»), вивчив їх властивості і застосував до розв'язання задачі подвоєння куба (делоської задачі). Конічні перерізи вивчали Евклід, Архімед та інші вчені. Один з біографів Архімеда навіть звинувачував Аполлонія в плагіаті, хоча аналіз «Коніки» свідчить, що для цього немає підстав. Попередники Аполлонія розглядали конічні перерізи за умови перпендикулярності площини перетину до твірної конуса. Якщо конус прямокутний, утворювалася парабола, гострокутний — еліпс, а якщо тупокутний — вітки гіперболи. Аполлоній розглядає загальний випадок утворення конічних перерізів при перетині довільного кругового двопорожнинного конуса площиною під будь-яким кутом. Учений дістає еліпс, параболу або гіперболу залежно від того, перетинає площина всі твірні тільки однієї порожнини конуса, паралельна вона одній твірній чи перетинає обидві порожнини. Аполлоній увів назви параболи, гіперболи й еліпса. Для кожної із цих кривих Аполлоній відкриває і доводить основні її властивості. Зокрема, в першій книзі «Коніки» за основу класифікації кривих прийнято, по суті, властивості їх алгебраїчних рівнянь, які Аполлоній записував в словесно-геометричній формі і називав симптомами кривої. Із сучасного погляду можна сказати, що Аполлоній досліджував властивості конічних перерізів відносно прямокутної системи координат, у якій одна вісь збігалася з головним діаметром кривої (в еліпса — це була велика вісь), а друга — проходила через вершину кривої. При цьому вчений досліджував саме ті властивості, які залишаються незмінними (інваріантними) при допустимих перетвореннях. Ця ідея стала зрозумілою лише в XIX ст., коли німецький математик Ф. Клейн (1849—1925) у своїй знаменитій Ерлангенській програмі запропонував розглядати кожну геометрію (синтетичну, аналітичну, проективну, афінну, топологію і т. д.) як теорію, що вивчає геометричні властивості фігур, інваріантних відносно певної спеціальної групи перетворень площини або простору. Зокрема, евклідова геометрія — це наука, яка вивчає інваріанти метричної групи перетворень.

У семи книгах «Коніки» подано формулювання і доведення 387 теорем, в яких детально розглянуто найголовніші властивості кривих другого порядку. Немає жодної можливості передати все багатство змісту «Коніки». Досить сказати, що навіть сучасні університетські курси аналітичної геометрії не охоплюють всіх властивостей конічних перерізів, відкритих і доведених Аполлонієм. При відсутності аналітичного методу дослідження, виконане вченим, вимагало велетенської роботи.

Праця Аполлонія — класичний приклад створення математичних теорій з логіки розвитку самої науки. Справді, в математичному природознавстві конічні перерізи тривалий час не знаходили застосування (хіба що крім параболічних дзеркал). Криві другого порядку привернули увагу вчених у XVI ст., коли невтомний шукач розгадок таємниць природи Й. Кеплер (1571 —1630) поборов тисячолітню традицію і дійшов висновку, що планети обертаються навколо Сонця не по колах, як у це вірили всі від піфагорійців до Коперника, а по еліпсах. Отже, ідея Аполлонія відродилася лише в XVII ст. Багато визначних математиків присвятили свої дослідження різним питанням теорії конічних перерізів. Сьогодні ж властивості еліпса, параболи, гіперболи широко застосовуються в техніці, при дослідженні законів природи. Теоретичний фундамент цих застосувань створив учений, який навіть не уявляв їх величезного обсягу. Це теж не випадково. Відкинувши безліч другорядних властивостей, учений дістав у чистому вигляді певні просторові форми та кількісні відношення, які характеризували вже не окреме явище, а цілий клас подібних за певними числовими характеристиками явищ. Як кожна правильно побудована наукова теорія, «Коніка» діждалася свого часу, щоб допомогти людині глибше проникнути в таємниці закономірностей природи і використовувати їх у своїй практичній діяльності.

Різні автори називають ще інші праці Аполлонія з математики, астрономії, оптики, але жодна з них до нас не дійшла, хоча відомо, які проблеми розв'язував в них учений. У «Загальному трактаті» він вивчав загальні, недоводжувані поняття геометрії — аксіоми, постулати та їх відношення до реальної дійсності. Аполлоній обчислював значення числа я і дістав таке наближення:

/Files/images/matematiki/image026.jpg

Він запропонував аналогічну розробленій Архімедом позиційну систему числення за тетрадами (степенями міріад, тобто 10 000). Окремі праці вчений присвятив невпорядкованим ірраціональностям і запалювальним дзеркалам.

У двотомній книжці Аполлонія «Про дотики» було вміщено його знамениту задачу: «Дано три фігури, кожна з яких може бути точкою, прямою або колом. Побудувати коло, яке проходило б через дані точки (або точку) і дотикалося до даних кіл або прямих». Розв'язання задачі самим Аполлонієм до нас не дійшло. Пропоновані далі задачі на побудову — п'ять з десяти можливих окремих варіантів задачі Аполлонія. Легко побачити, що кожний варіант має кілька окремих випадків, залежно від розміщення даних фігур на площині.

Кiлькiсть переглядiв: 71