Евклід

/Files/images/matematiki/image019.jpg

(бл.365—бл.300 до н.е.)

Хронологічними межами епохи еллінізмуїї є час від завойовницьких походів Александра Македонського за межами Греції (333—323 до н. е.) до взяття римлянами столиці елліністичної країни Птолемеїв — Александрії (31 до н. е.).

На завойованих Александром Македонським величезних територіях після його смерті утворилися елліністичні країни. У них відбувався своєрідний синтез грецької культури і культур підкорених народів, хоча офіційною мовою науки була грецька.

Головним науковим і культурним центром елліністичного світу стає засноване Александром Македонським у гирлі Нілу місто Александрія, столиця країни Птолемеїв. Тут було засновано Мусейон — Будинок муз, великий науковий центр, де працювали запрошені найвидатніші вчені з багатьох країн світу. При Мусейоні діяла велика бібліотека, яка нараховувала понад 700 000 рукописів з усіх галузей знань.

Серед запрошених був і найвидатніший математик свого часу Евклід. Він заснував у Александрії математичну школу, для слухачів якої і написав свою славнозвісну книгу «Начала».

Великого математика спіткала дивна доля. Написана ним книга затьмарила славу самого автора. До нас дійшли два-три епізоди, можливо історичні анекдоти. Перший малює Евкліда людиною принциповою. Коли цар Птолемей І зажадав короткого шляху для вивчення геометрії, математик відповів: «У геометрії немає царської дороги». (А в Єгипті, як і в інших країнах, справді, існували дороги, їздити по яких мали право тільки цар, вищі сановники і царські кур'єри). Разом з тим, учений був дуже доброзичливим до всіх, хто зробив хоча б якийсь внесок у математику, яку він цінував понад усе. Один з юнаків, вивчивши кілька перших теорем «Начал», запитав у автора: «А що я можу заробити, якщо вивчу все?» Евклід покликав раба і наказав: «Дай йому три оболи, бідолаха хоче заробити грошей своїм навчанням». Уже перший коментатор його книг Прокл Діадох (бл. 410—485) не знав, де і коли народився знаменитий математик, їх розділяло вісім століть. Це все одно, що для нас відстань до автора «Слова о полку Ігоревім».

Евклід був різностороннім ученим. До нас дійшли його твори: «Феномени» присвячений елементарній сферичній астрономії, «Оптика» — теорії перспективи, «Переріз канону» — теорії музики. Це були перші дослідження в галузі математичної фізики. У книжці «Дані» Евклід показав, як задання одних геометричних фігур є одночасно заданням інших. Книгу «Псевдарій» вчений присвятив помилкам у геометричних доведеннях. На жаль, жодного рядка із цього першого збірника математичних софізмів і парадоксів до нас не дійшло.

Безсмертну славу принесли Евкліду «Начала». Ця дивовижна книга пройшла крізь політичні ката строфи і війни 22-х століть, вистояла, вціліла, відіграла виключну роль в історії математики і математичної освіти в усьому світі. Щоб зрозуміти, чому так трапилося, спинимося на ній детальніше.

Спроби викласти головні розділи математики були й до Евкліда. Александрійський математик зробив це настільки досконало, що всі інші твори такого роду було забуто, і жодний з них не зберігся до наших днів.

Евклід осмислив, підсумував і виклав в цільній, логічно пов'язаній системі теорем найвидатніші досягнення грецької математики за трьохсотрічний період її розвитку. Його твір — перший з тих, що дійшли до нас, блискуче — реалізований приклад аксіоматичного викладу геометрії. Евкліда вдосконалювати, коментували, пояснювали, але ніхто не насмілювався піддати сумніву правильність його трактування основних положень геометрії в 13-ти книгах його «Начал».

Основу «Начал» становлять означення, постулати й аксіоми. Означення Евкліда — це підсумок багатовікової абстрагуючої діяльності людини. Вони довели свою практичну значущість на численних застосуваннях і тому сприймалися як безпосередньо очевидні. Постулати були основою геометричних алгоритмів, які використовувалися в процесі вивчення геометричних фігур, а аксіоми — недоводжувані твердження — для описування властивостей усіх величин. Вибір аксіом настільки вдалий, що майже всі вони ввійшли в сучасну аксіоматику. Але їх усе одно було недостатньо для дедуктивної побудови геометрії. Евклід не сформулював багато з того, чим користувався далі. Наприклад, у нього немає стереометричних постулатів, аксіом руху. І все ж потрібно врахувати, що перших успіхів у створенні системи аксіом геометрії, які відповідали зростаючим вимо гам математичної строгості, було досягнуто лише на кінець XIX ст.

Спираючись на розроблені вихідні основи (поняття, постулати і аксіоми) і використовуючи закони формальної логіки, Евклід логічними міркуваннями доводить 465 тверджень, поданих у «Началах».

«Начала» стали невичерпним джерелом нових математичних досліджень, на які вони надихали покоління математиків різних країн. Евклід з дивовижною глибиною розв'язав багато складних теоретичних і методологічних проблем математики. Достатньо назвати історію знаменитого V постулату про паралельні прямі. Багато математиків понад два тисячоліття намагалися виправити Евкліда. Вірили, що він помилково вніс у число недоводжуваних істин твердження, яке є теоремою, тобто може бути доведене. На пошуки його було витрачено чимало зусиль. Уже в XIX ст. король математиків, як називали сучасники К. Ф. Гаусса, змушений був зізнатися: «І все ж, якщо хочемо говорити чесно й відверто, потрібно сказати, що, по суті, ми не пішли в цьому питанні далі, ніж Евклід, за 2000 років». А хто краще за Гаусса — найвидатнішого вченого свого часу, який багато і настирливо думав над таємницею паралельних прямих і V постулату,міг про це знати! 23 лютого 1826 року геніальний російський математик М. І. Лобачевський (1792—1856) у своєму виступі на засіданні фізико-математичного факультету Казанського університету виголосив доповідь на тему «Стислий виклад принципів геометрії зі строгим доведенням теореми про паралельні прямі», в якій показав, що V постулат логічно не залежить від інших постулатів і аксіом Евкліда і його не можна довести на їх основі. Виявилося, що Евклід не помилився. День виголошення М. І. Лобачевським доповіді відкрив нову сторінку не тільки в геометрії, айв усій математиці. Із цього часу відлічують народження першої неевклідової геометрії. З'ясувалося, що евклідова геометрія побудована геніально, але є тільки наближеною математичною моделлю фізичного простору. Геометрія Лобачевського розкрила глибинні, складніші властивості простору, які виявляються на рівні мікросвіту і у велетенських масштабах.

Аксіоматична побудова геометрії справила глибоке враження на мислителів усіх часів. Виявилося, що достатньо зовсім невеликої кількості аксіом, щоб можна було вивести необмежену кількість теорем. При цьому, якщо якимось чином можна було переконатися в істинності аксіом, у чому ніхто фактично й не мав сумніву, то це вже забезпечувало істинність доводжуваних на їх основі теорем. Тому для поколінь учених різних епох і країн аксіоматичний виклад геометрії в «Началах» Евкліда був ідеальним зраз­ком подання наукових теорій. Його наслідував геніальний англійський математик І. Ньютон (1643— 1727) у своїй основоположній праці «Математичні начала натуральної філософії». Ця книга не тільки назвою, а й методом свого викладу копіює твір Евкліда. Схеми «Начал» додержував нідерландський філософ-матеріаліст Б. Спіноза (1623—1677), викладаючи систему етики.

Евклід блискуче розв'язав і методичне завдання, адже він писав не науковий трактат, а навчальний посібник для учнів своєї школи, який став посібником для поколінь учнів.

До 1880 р. «Начала» витримали 460 видань і продовжують друкуватися до наших днів. Перші 8 книг «Начал» було надруковано російською мовою в 1739 р., усього твір Евкліда видавався російською мовою 6 раз, хоча всі дореволюційні видання були неповними. Повне видання «Начал» російською мовою з докладними коментарями та історичними довідками вийшло в трьох томах у 1948— 1950 рр.

Кiлькiсть переглядiв: 194