Карл Фрідріх Гаус


/Files/images/Carl_Friedrich_Gauss.jpg

(30 квітня 1777р. - 23 лютого 1855р.)


Карл Фрідріх Гаус народився 30 квітня 1770 р. у Брауншвейгу — одному з німецьких князівств, які на той час ще не були об'єднані в єдину централізовану державу. Батько Карла спочатку працював слюсарем, а згодом став садівником, суміщаючи це заняття з обов'язками рахівника в торговельній конторі якогось купця. Він був людиною суворою, навіть грубою. Мати Карла була дочкою каменяра; від природи вона була жінкою розумною, розважливою, доброю і веселою. Карл був її єдиною дитиною, і вона безмежно та щиро любила його. Син відповідав їй такою самою гарячою любов'ю. Від матері він успадкував розважливість і м'яку вдачу.

Читати і писати Карл навчився сам: йому досить було знати лише кілька букв, підказаних матір'ю, щоб цілком оволодіти технікою читання. Вже в ранньому дитинстві у хлопчика виявились особливі здібності до математики. Пізніше він сам жартома говорив: «Я навчився рахувати раніше, ніж розмовляти». Розповідають про такий випадок. Якось до батька Карла зібралися товариші по роботі, щоб розподілити зароблені за тиждень гроші. Тут же був і трирічний Карл. Коли батько закінчив розрахунки, які він проводив уголос, щоб усі чули їх, і оголосив наслідки, Карл вигукнув: «Татку, ти помилився!» Присутні були вражені заявою малої дитини, але батько підрахував усе спочатку. Коли він назвав нову цифру (а раніше він справді зробив помилку), Карл радісно вигукнув: «Тепер правильно!»

У 1784 році Карла віддали до народної школи. Перші два роки навчання він нічим не відзначався серед товаришів, його виняткові здібності до арифметики виявилися у третьому класі. Якось учитель дав учням досить складне завдання з арифметики: відшукати суму деякої кількості натуральних послідовних чисел. Учитель вважав, що учні досить довго шукатимуть відповідь. Але через кілька хвилин Карл розв'язав задачу. Коли вчитель проглянув розв'язання, то побачив, що малий Гаус винайшов спосіб скороченого знаходження суми членів арифметичної прогресії. Щасливий випадок звів Гауса з першим у навчанні учнем цієї самої школи —Бартельсом; вони потоваришували, бо обидва були закохані в математику. За порадою товариша Карл почав вивчати твори великих математиків, ознайомився з теорією бінома, властивостями деяких рядів тощо.

Після чотирирічного навчання в школі Гаус перейшов до гімназії відразу в другий клас. Тут, у гімназії, яскраво виявились інші його здібності — з дивовижною швидкістю і успішністю він оволодів стародавніми мовами — грецькою і латинською. Талановитого юнака представили герцогу Брауншвейгському, який надалі піклувався про його виховання.

По закінченні гімназії Гаус у 1792 р. вступив до так званої Каролінської колегії. Тут він продовжував успішно вивчати стародавні мови, а разом з тим систематично і поглиблено студіював математичні дисципліни. На цей період припадає його ознайомлення з творами таких видатних математиків, як Леонард Ейлер, Жозеф-Луї Лагранж і особливо Ісаак Ньютон. Епохальний твір Ньютона«Математичні начала натуральної філософії» справив на Гауса глибоке враження і запалив у ньому той невгасимий потяг до математичних досліджень, який тривав усе його життя.

З 1795 р. Гаус — студент Геттінгенського університету. Він охоче відвідує лекції з філософії і математики. В цей час він починає свої математичні дослідження. На цей ранній період його творчої діяльності (йому було всього 18 років) припадають такі відкриття й праці: у 1795 р. він винайшов так званий «Метод найменших квадратів»; у 1796 р. розв'язав класичну задачу про поділ кола, з якої випливала побудова правильного 17-кутника, і написав велику й важливу працю «Арифметичні дослідження», яка була надрукована у 1801 р.

Як відомо, ще за часів Евкліда (III ст. до н. е.) задача про поділ кола була предметом досліджень багатьох учених, причому ще тоді було доведено, що за допомогою циркуля і лінійки можна побудувати правильні многокутники, число сторін яких дорівнює: 3·2n, 4·2n, 5·2n, 15·2n, , де n — будь-яке натуральне число. В 1796 Гаус довів можливість побудови за допомогою циркуля і лінійкиправильного 17-кутника. Більш того, він розв'язав проблему побудови правильних багатокутників до кінця і знайшов критерій можливості побудови правильного n-кутника за допомогою циркуля і лінійки: якщо n — просте число, то воно повинне бути вигляду (числа Ферма). Цим відкриттям Ґаус дуже дорожив і заповідав зобразити на своїй могилі правильний 17-кутник, вписаний у коло.

З 1796 року Гаус веде короткий щоденник своїх відкриттів. Багато що він, подібно до Ньютона, не публікував, хоча це були результати виняткової важливості (еліптичні функції, неевклідова геометрія тощо). Своїм друзям він пояснював, що публікує тільки ті результати, якими задоволений і вважає завершеними. Багато відкладених або покинутих ним ідей пізніше воскресли в працях Абеля, Якобі, Коші, Лобачевського і інших. Кватерніони він теж відкрив за 30 років до Гамільтона (назвавши їх «мутаціями»).

Всі численні опубліковані праці Гауса містять значні результати, сирих і прохідних робіт не було жодної.

У 1798 закінчений шедевр «Арифметичні дослідження» (лат. Disquisitiones Arithmeticae), надрукований тільки в 1801 році. У цій праці детально викладається теорія порівнянь в сучасних (введених ним) позначеннях, розв'язуються порівняння довільного порядку, глибоко досліджуються квадратичні форми, комплексні корені з одиниці використовуються для побудови правильних n-кутників, викладені властивості квадратичних лишків, наведене доведення квадратичного закону взаємності тощо. Гаус любив говорити, що математика — цариця наук, а теорія чисел — цариця математики.

У 1798 році Гаус повернувся до Брауншвейгу і жив там до 1807 року. Герцог продовжував опікати молодого генія. Він сплатив друк його докторської дисертації (1799) і подарував непогану стипендію. У своїй докторській Гаус вперше довів основну теорему алгебри. До Гауса було багато спроб це довести, найближче до мети підійшовД'Аламбер. Гаус неодноразово повертався до цієї теореми і дав 4 різних доведення її.

З 1799 року Ґаус — приват-доцент Брауншвейзького університету. У 1801 обирається членом-кореспондентом Петербурзької академії наук.

Після 1801 року Ґаус, не пориваючи з теорією чисел, розширив круг своїх інтересів, включивши в нього і природничі науки. Каталізатором послужило відкриття малої планети Церера (1801), незабаром після спостережень втраченої. 24-річний Ґаус виконав (за декілька годин) складні обчислення за новим, відкритим ним же методом, і вказав місце, де шукати утікачку; там вона і була незабаром виявлена, до загального захоплення.

Слава Ґауса стає загальноєвропейською. Багато наукових товариств Європи обирають Ґауса своїм членом, герцог збільшує допомогу, а інтерес Ґауса до астрономії ще більш зростає.

1809 року вийшов новий шедевр, «Теорія руху небесних тіл». Викладена канонічна теорія врахування збурень орбіт.

Якраз в четверту роковину весілля вмирає Йоганна, незабаром після народження третьої дитини. У Німеччині розруха і анархія. Це найважчі роки для Гауса.

1810 знов одружився, з Минною Вальдек, подругою Йоганни. Число дітей Ґауса незабаром збільшується до шести.

1810 прийшли нові почесті. Гаус отримує премію Паризької академії наук і золоту медаль Лондонського королівського товариства.

1811 з'являється нова комета. Гаус швидко і дуже точно розраховує її орбіту. Починає роботу над комплексним аналізом, відкриває (але не публікує) теорему, пізніше перевідкриту Коші і Веєрштрасом: інтеграл від аналітичної функції по замкнутому контуру рівний нулю (див. Інтегральна теорема Коші).

1812: дослідження гіпергеометричного ряду, що узагальнює розкладання практично всіх відомих тоді функцій.

Знамениту комету «пожежі Москви» (1812) усюди спостерігають, користуючись обчисленнями Гауса.

1815 року великий математик публікує перше строге доведення основної теореми алгебри. 1821 у зв'язку з роботами з геодезії Гаус починає історичний цикл робіт з теорії поверхонь. У науку входить «кривина Ґауса». Покладений початок диференціальної геометрії. Саме результати Ґауса надихнули Рімана на його класичну дисертацію про «ріманову геометрію».

Підсумком досліджень Ґауса була робота «Дослідження щодо кривих поверхонь» (1822). У ній вільно використовуються загальні криволінійні координати на поверхні. Ґаус далеко розвинув метод конформного відображення, яке в картографії зберігає кути (але спотворює відстані); воно застосовується також в аеро/гідродинамиці і електростатиці.

1824 обирається іноземним членом Петербурзької академії наук.

1825 відкриває ґаусові комплексні цілі числа, будує для них теорію подільності і порівнянь. Успішно застосовує їх для розв'язання рівнянь високих ступенів.

1831 вмирає друга дружина, у Ґауса починається важке безсоння. У Ґеттінген приїжджає запрошений за ініціативою Ґауса 27-річний талановитий фізик Вільгельм Вебер, з яким Ґаус познайомився в 1828 році, в гостях у Гумбольдта. Обидва ентузіасти науки здружилися, незважаючи на різницю у віці, і починають цикл дослідженьелектромагнетизму.

1832 виходить «Теорія біквадратичних обчислень». За допомогою тих же цілих комплексних ґаусових чисел доводяться важливі арифметичні теореми не тільки для комплексних, але і для дійсних чисел. Тут же він приводить геометричну інтерпретацію комплексних чисел, яка з цієї миті стає загальноприйнятою.

1833 Ґаус винаходить електричний телеграф і (разом з Вебером) будує його діючу модель.

У 1837 Вебера звільняють за відмову принести присягу новому королеві Ганновера. Ґаус знов залишився наодинці.

У 1839 62-річний Ґаус почав вивчати російську мову і в листах в Петербурзьку академію просив прислати йому російські журнали і книги, зокрема «Капітанову дочку»Пушкіна. Припускають, що це пов'язано з роботами Лобачевського. У 1842 році за рекомендацією Ґауса Лобачевський обирається іноземним членом-кореспондентом Ґеттінгенського королівського товариства.

16 червня 1849 р. наукова громадськість світу відзначила 50-річний ювілей творчої діяльності «короля математиків». Усі наукові установи, товариства різних країн світу вважали за свій обов'язок сердечно привітати великого математика і висловити йому почуття високої поваги. У цей час Ґаус написав свою останню працю «Матеріали до теорії алгебраїчних рівнянь». Довгі роки напруженої праці давалися взнаки. Ґаус почав помітно старіти, швидко стомлюватись. У 1851 р. великих страждань завдавали йому безсоння, задишка і кашель. До цього він майже не хворів і за все своє життя тільки двічі вживав ліки. Але тепер, коли друзі запросили до нього лікаря, який установив хворобу серця і ряд інших змін в організмі, Ґаус почав лікуватись, часто робив прогулянки на свіжому повітрі. Здоров'я його ніби поліпшилось. Але 23 лютого 1855 р. великого математика не стало. 26 лютого тіло перенесли в обсерваторію, а звідти студенти університету супроводили його на кладовище.

Характерними рисами досліджень Гауса є надзвичайна їх різнобічність і органічний зв'язок у них між теоретичною і прикладною математикою. Праці Гауса мали великий вплив на весь дальший розвиток вищої алгебри, теорії чисел, диференціальної геометрії, класичної теорії електрики і магнетизму, геодезії, теоретичної астрономії. У багатьох галузях математики Гаус активно сприяв підвищенню вимог до логічної чіткості доведень. «Арифметичні дослідження» — перший великий твір Гауса, присвячений окремим питанням теорії чисел і вищої алгебри. Постановка і розробка цих питань Гаусом визначили дальший розвиток цих дисциплін. Гаус докладно розвинув тут теорію квадратичних лишків, уперше довів квадратичний закон взаємності — одну з центральних теорем теорії чисел. У цьому творі він по новому докладно розробив теорію квадратичних форм, яку раніше побудував Лагранж, виклав теорію поділу кола, яка багато в чому була прообразом теорії Галуа. Гаус розробив загальні методи розв'язання рівнянь виду хn-1=0, а також встановив зв'язок між цими рівняннями і побудовою правильних багатокутників, а саме: знайшов усі такі значення n, для яких. правильний n-кутник можна побудувати циркулем і лінійкою, зокрема розв'язав у радикалах рівняння х17-1=0 і побудував правильний 17-кутник за допомогою циркуля і лінійки. Це було першим після старогрецьких геометрів значним кроком уперед у цьому питанні. Одночасно Гаус склав величезні таблиці простих чисел, квадратичних лишків і нелишків, значень усіх дробів виду від р = 1 до р = 1000 у вигляді десяткових дробів, доводячи обчислення до повного періоду (що іноді потребувало обчислення кількох сотень десяткових знаків).

К. Гаус довів, що за допомогою циркуля та лінійки можна побудувати такий правильний n-кутник, число сторін якого виражається формулою , де r — довільне ціле число або нуль. Якщо r=0, то n=3; r=1, то n=5, r=2, то n=17. Побудови трикутника і п'ятикутника були відомі ще давнім грекам, але Гаус першим здійснив побудову правильного 17-кутника.

Дослідження Гауса про поділ кола мали велике значення не лише для розв'язання цієї складної задачі. Мабуть, ще важливішим було те, що тут він заклав основи загальної теорії так званих алгебраїчних рівнянь, де коефіцієнти рівняння — комплексні числа.

Внесок у галузі геометрії

Ґаус цікавився і геометрією. Окремі питання, як, наприклад, найважливіша проблема геометрії — проблема V постулату Евкліда — привертали його особливу увагу. У своїх міркуваннях він ішов шляхами, схожими на ті, які проробив Лобачевський, але не опублікував жодної сторінки. У листі до математика Бесселя Ґаус писав: «Певне, я ще не скоро зможу обробити свої широкі дослідження з цього приводу так, щоб їх можна було опублікувати. Можливо, навіть, що я не зважуся на це протягом усього мого життя, тому що боюсь крику беотійців, який піднімається, коли я висловлюю свої погляди».

Ґаус ознайомився з результатами досліджень Лобачевського за невеликою брошурою «Геометричні дослідження з теорії паралельних ліній», написаною німецькою мовою і виданою у 1840 р. Він зацікавився цією працею і в свої 62 роки вирішив вивчити російську мову, щоб мати можливість читати твори Лобачевського в оригіналі. У листах до своїх друзів Ґаус з великою похвалою говорив про досягнення Лобачевського. Він писав, що праця Лобачевського містить основи тієї геометрії, яка могла б бути і була б цілком послідовною, якби геометрія Евкліда не була правильною. Він писав також, що вже 54 роки (з 1792 р.) має такі самі переконання. Самому Лобачевському Ґаус власноручно написав листа, в якому повідомив російського вченого, що його обрали членом-кореспондентом Ґеттінгенського математичного вченого товариства.

Кiлькiсть переглядiв: 65